قوتی سلسلہ کا مسودہ

== قوتی سلسلہ ==
ریاضی میں ایک [[سلسلہ (ریاضی)|لامتناہی سلسلہ]] ہوتا ہے جسے اس طرح سے ظاہر کرتے ہیں۔

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1</math><math> + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>

یہ عموما کسی [[دالہ]] (function) کے [[ٹیلر سلسلہ]] میں توسیع کی صورت میں پیدا ہوتا ہے۔

اگر یہاں '''c''' کی قدر صفر ہو تو یہ [[میکلارن سلسلہ]] کہلاتا ہے اور اسے اس طرح سے لکھا جا سکتا ہے۔

:<math>
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
</math>

قوتی سلسلے [[ریاضیاتی تحلیل]]، [[تالیفیات]] (combinatorics) (جہاں یہ [[تولیدی دالہ]] (generating function) کے نام سے جانے جاتے ہیں) اور [[ہندسیات]] (engineering) میں بہت زیادہ استعمال ہوتے ہیں۔

== مثالیں ==
[[کثیر رقمی]] (polynomial) کو بہت آسانی سے قوتی سلسلے کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر <math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> کو قوتی سلسلے کی شکل میں اس طرح ظاہر کر سکتے ہیں جب '''c''' کی قدر صفر ہو۔

::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>

'''c''' کی قدر 1 پر اسے اس طرح لکھیں گے۔

::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>

کچھ مشہور قوتی سلسلے مندرجہ ذیل ہیں۔

::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>

::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>

::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math>

منفی قوت والے سلسلے کو قوتی سلسلہ نہیں کہتے، مثال کے طور پر <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math> قوتی سلسلہ نہیں ہے۔

== بیرونی روابط ==
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Complex Power Series Module by John H. Mathews]
* [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Powers of Complex Numbers] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].

[[زمرہ:حقیقی تحلیل]]
[[زمرہ:ریاضیاتی سلسلے]]
[[زمرہ:متعدد متغیر حسابان]]
[[زمرہ:مختلط تحلیل]]